课程介绍
《高等数学》是我校工科类各专业最重要的必修基础课程之一，是学习后续专业课程的基础。高等数学在线课程旨在与课堂教学相配合，使学生更好地掌握高等数学的基础理论和方法。内容包括教学短视频、教学课件以及练习题等，所有资料与课堂教学完全同步匹配。我们梳理了高等数学中的主要知识点，组织十几位一线任课教师录制了短视频，在每一章节中都要讲授知识点和典型例题。便于学生抓住重点解决难点，从而有效地进行预习和复习，提高学习效率。练习题是在多位经验丰富的老师编写的习题册基础上，我们进行了整理，提供了答案。这些习题类型包括了选择题、填空题、计算题、证明题和简单题等，难度适中，适合我校的学习状况，可以很好地解决学生习题训练不足的问题。学生通过课堂学习，再结合观看教学视频，认真完成练习题，一定可以提高自己的高等数学学习水平。
课程大纲
高等数学（上、下）
Advanced Mathematics
主撰：王军锋 审核：郭文艳 批准：马德明
一、课程基本信息
课程名称 高等数学B 课程代码 08100012 08100022
学 分 10.5 总学时 168 讲课学时 168 上机学时 0 实验学时 0
课程A/B类归属 B类 开课学期 第一学期、第二学期
先修课程 无
适用专业 理工类各专业
开课单位 理学院应用数学系
二、课程性质与目的
《高等数学》是理工类各专业最重要的必修基础课程之一，是学习后续课程的基础。
本课程旨在使学生掌握高等数学的基础理论和方法，包括函数与极限、一元微积分、常微分方程、空间几何与向量代数、多元微积分以及无穷级数。使学生理解微积分的基本思想并熟练掌握微积分的计算方法，能够应用微积分知识解决典型的几何和物理问题。
三、教学目标及其对毕业要求的支撑
（一）教学目标
通过本课程的学习，使学生掌握微积分的基本理论与方法，能够针对一个系统或者过程选择或建立一种数学模型，并能够对于模型的正确性进行严谨的推理进而解决复杂的工程问题。培养学生具有抽象思维和逻辑推理的能力，能够应用微积分的知识去表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。
教学目标具体要求如下：
（1）通过挖掘课程中的育人要素，培养学生的科学思维方法，塑造科学伦理，使其具有及探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
（2）要求学生掌握微积分的基本理论与方法，能熟练计算并针对具体问题选择或者建立数学模型；
（3）要求学生能够将微积分的理论方法运用到相关的基础课程和专业课程学习中；
（4）要求学生针对与微积分有关的实际问题具有表达和分析能力，以获得有效结论。
（二）教学目标对毕业要求的支撑矩阵
毕业要求 课程教学目标
（1）（2）（3）（4）
1 工程知识 √ √ √ √
2 问题分析 √ √ √
四、教学内容
（一）教学内容结构关系图
略
（二）具体教学内容
1．函数与极限（12学时）
（1）教学内容
理解函数、复合函数及分段函数的概念，掌握函数的特性及基本初等函数的性质及其图形；了解极限的严格定义，掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。
（3）课程思政育人要素
中国古代利用正多边形的面积无限逼近圆的面积，这一思想的发现比欧洲早一千多年。通过介绍极限思想的产生和发展，培养学生的爱国情怀，增强民族自信和文化自信，激发学生的求知欲和报国精神。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题1-1到习题1-10，总习题一；课外学习极限的思想并练习极限的计算方法。
2．导数与微分（12学时）
（1）教学内容
理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过介绍导数和微分概念产生的历史背景，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；通过实际案例引导学生去求解变速直线运动的速度和曲线的切线斜率，最终归纳出导数的定义，在此过程中培养学生的抽象概括能力，提高学生的辩证思维能力；通过高阶导数的教学，训练学生严谨、科学的思维方法。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题2-1到习题2-5，总习题二；课外学习导数的思想并练习导数的计算方法。
3．微分中值定理与导数的应用（12学时）
（1）教学内容
理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy)中值定理。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过学习函数的单调性和曲线的凹凸性，使学生体会人生没有平坦的大道，培养学生敢于面对挫折，勇攀高峰以及坚韧不拔、百折不饶的奋斗精神。通过导数的一系列应用，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生精益求精的工匠精神。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题3-1到习题3-7，总习题三；课外学习中值定理的思想并练习导数的应用。
4．不定积分（12学时）
（1）教学内容
理解原函数的概念，理解不定积分概念；掌握不定积分的基本公式；掌握不定积分的性质。掌握换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。
（3）课程思政育人要素
通过不定积分概念的教学，培养学生抽象概括能力和透过现象抓本质的能力。通过不定积分中一些综合性较强的题目的解答，培养学生分析综合以及探索创新的能力，并通过严谨的推证和解答培养学生的科学精神。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题4-1到习题4-4，总习题四；课外练习计算不定积分。
5．定积分（12学时）
（1）教学内容
理解定积分的概念；掌握定积分的性质及定积分中值定理。理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。掌握换元积分法与分部积分法。了解反常积分的概念，会计算反常积分。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。
（3）课程思政育人要素
通过讲解微积分基本定理以及牛顿和莱布尼茨两位数学家的奋斗历史，培养学生正确的学习态度和踏实的学习作风，以及面对困难时要具有坚持不懈勇于探索的勇气和严谨的科学精神。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题5-1到习题5-4，总习题五；课外练习定积分的计算。
6．定积分的应用（6学时）
（1）教学内容
掌握元素法的思想；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过引入赵州桥拱形面积及弧长的计算，或港珠澳大桥钢圆筒表面积及体积的计算等实际算例，培养学生的“大国工匠”精神，以及勇于探究的科学精神和用所学定积分知识解决实际问题的能力。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题6-1到习题6-3，总习题六；课外练习定积分在几何及物理中的应用。
7．微分方程（14学时）
（1）教学内容
了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。会解齐次微分方程；会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解特殊形式的微分方程。理解线性微分方程解的性质及解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。会解自由项为多项式、指数函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。会用微分方程解决一些简单的实际应用问题。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过微分方程中的传染病模型，向学生讲解疫情数据的准确性会对决策起到非常重要的作用。培养学生对的社会责任感，引导学生要勇于担当，知行合一，培养他们知识报国的情怀。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题7-1到习题7-8，总习题七；课外练习微分方程的求解并了解其实际的应用。
8．空间解析几何与向量代数（12学时）
（1）教学内容
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的各种运算，了解两个向量垂直、平行的条件；理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面方程和直线方程及其求法；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；会求点到直线以及点到平面的距离。了解曲面方程和空间曲线方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。
（3）作业及课外学习要求
作业：习题8-1到习题8-6，总习题八；课外练习直线、平面方程的求解。
9．多元函数微分法及其应用（18学时）
（1）教学内容
理解多元函数的概念及几何含义，了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
利用精美的中华古诗词，如“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”展现多元函数的极值和最值的特征，让学生感受中华传统文化的博大精深，增强文化自信，培养爱国主义情怀。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题9-1到习题9-8，总习题九；课外练习偏导数、全微分的计算并了解其实际的应用。
10．重积分（18学时）
（1）教学内容
理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，；掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标)。会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、质心、形心等)。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过学习“微元法“化整为零，聚零为整”的思想，教育学生在实际中可以将复杂的事情分解成简单的事情去解决，培养学生积少成多、量变引起质变的哲学思想，以及运用矛盾转化的思想破解工作难题、攻克科研难关的科学精神。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题10-1到习题10-4，总习题十；课外练习重积分的计算并了解其实际的应用。
11．曲线积分与曲面积分（20学时）
（1）教学内容
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；掌握计算两类曲线积分的方法。掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法。了解散度的概念，并会计算。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
讲解到格林公式的时候，通过乔治·格林本人的故事，激励学生要学习数学家们身上那种孜孜不倦、勤奋探索的科研精神，培养他们珍惜时光，知识报国的坚定信念。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题1-1到习题11-6，总习题十一；课外练习线面积分的计算并了解其实际的应用。
12．无穷级数（20学时）
（1）教学内容
理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握典型函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将一般周期函数展开为傅里叶级数，会将一般周期函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
（2）对毕业要求的支撑
本知识点的讲授和学习，可以支撑“毕业要求1工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题”。也可以支撑“毕业要求2问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析复杂工程问题，以获得有效结论。”
（3）课程思政育人要素
通过调和级数“蜗牛精神”般的发散性，让学生体会点点滴滴虽然越来越渺小，但是积微成著，滴水穿石，培养学生坚持不懈的探索精神和踏实奋进、精益求精的“工匠精神”。
（4）作业及课外学习要求
作业：习题12-1到习题12-8，总习题十二；课外练习级数收敛性判定，函数展开成幂级数，了解其在近似计算中的应用。
五、教学方法
课程教学采用传统教学的方式，以课堂讲授为主，通过作业、期中考试、随堂测验及考勤等多环节训练和督促检查，巩固学习成果。本课程每节课程结束都安排作业，1次期中考试，多次随堂测验。通过问题提出、概念引入、定理证明、方法思考、内容归纳、案例应用等教学过程，实现教学目标。
六、考核及成绩评定
课程成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试三个环节的成绩综合评定产生。各评价环节所占比例及对教学目标的支撑如下表所示。其中，期中考试、期末考试采取闭卷形式，内容涉及课程的基本概念、基本定理和基本方法，题型包括选择题、填空题、计算题和证明题等。
成绩评定 评价环节 教学目标
平时成绩（25%） 作业（15%） 1、2
随堂测验（5%） 1、2
考勤（5%）
期中考试（5%） 试卷（5%） 1、2、3、4
期末考试（70%） 试卷（70%） 1、2、3、4
通过平时作业、随堂测验、期中考试与期末考试等对学生的高等数学基本知识、计算方法、应用数学原理表达分析和解决实际问题的能力进行考核，即对毕业要求1、2的相关指标点的达成度进行评估。
七、教学进程（详见授课日历）
八、教材及参考书
1、《高等数学》（第七版），同济大学数学教研室主编，北京：高等教育出版社 ，2014
2、《高等数学》（第六版），同济大学数学教研室主编，北京：高等教育出版社 ，2008
九、执行大纲应注意的问题
1、教学中应注重基本理论﹑基本方法和基本知识的讲授，注重精讲多练。
2、注重习题课的安排，重视学生动手能力的培养。
3、大纲内课程学时的安排仅供参考，教师可根据情况做适当的调整。
考核标准
课件浏览100%,客观练习0%,主观练习0%,课内讨论0%,练习允许2次全部重做。
课程内容不断迭代，成绩以当时的课程内容为准，一旦合格，可以申请证书。申请证书后，以结课处理，成绩不再改动
